Abdeckungsmaß

Abdeckungsmaß, im mathematischen Sprachgebrauch oft als äußeres Maß bezeichnet, ist eine Funktion, die aus Teilmengen eines Raumes eine nichtnegative Zahl ableitet. Formal ist ein Abdeckungsmaß μ* eine Abbildung von der Potenzmenge P(X) in [0, ∞], die μ*(∅) = 0, monotone Eigenschaften besitzt (A ⊆ B ⇒ μ*(A) ≤ μ*(B)) und abzählbar subadditiv ist: μ*(⋃n An) ≤ ∑n μ*(An). Es dient dazu, Größen von Mengen durch deren mögliche Deckungen zu erfassen.

Eine häufige Definition erfolgt über Deckungen. Für A ⊆ X definiert man μ*(A) als das Infimum der Summen der Größen der deckenden Mengen aus einer vorgegebenen Familie, typischerweise Mengen mit endlichem Maß: μ*(A) = inf { ∑ μ(Ui) : A ⊆ ⋃i Ui }. Beim klassischen Lebesgue-Outer-Maß auf R wählt man als Deckungen offene Intervalldecken und setzt μ(Ui) = Länge(Ii).

Aus dem Abdeckungsmaß wird durch eine Carathéodory-Bedingung ein Maß. Eine Teilmenge A ⊆ X heißt messbar, wenn für alle E ⊆ X gilt μ*(E) = μ*(E ∩ A) + μ*(E \ A). Die Menge der messbaren Mengen bildet dann eine σ-Algebra, und die Einschränkung von μ* auf diese Mengen liefert ein Maß. Nicht alle Mengen sind messbar; echte Nichtmessbare existieren.

Eigenschaften und Anwendungen: μ* ist monotone, μ*(∅) = 0 und abzählbar subadditiv. Im Fall des Lebesgue-Outer-Maßes ist μ*(A) = 0 für abzählbare Mengen, und das Maß ist translational invariant (μ*(A + t) = μ*(A)). Das Abdeckungsmaß bildet die Grundlage für die Konstruktion des Lebesgue-Maßes und spielt eine zentrale Rolle in der geometrischen Maßtheorie, etwa bei Hausdorff-Maßen, Kapazitäten und der Analyse von Größenordnungen durch Deckungen.