zDomänen

z-Domänen, auch als Z-Domäne bezeichnet, ist in der digitalen Signalverarbeitung der komplexe Zahlenbereich, in dem die Z-Transformation eines diskreten Signals definiert wird. Sie dient der Analyse zeitdiskreter Systeme und Filterschaltungen und ist das Gegenstück zur Laplace- oder S-Domäne für kontinuierliche Signale.

Die Z-Transformation eines Signals, x[n], kann zweischichtig definiert werden als X(z) = Summe über n von x[n]·z^{-n} oder als zweifach konvergente Form X(z) = Summe von n≥0 x[n]·z^{-n} für eine rechts-suppwerte Folge. Die Reihe konvergiert nur in einer Region der Konvergenz (ROC) im komplexen Z-Ebene. Diese ROC ist typischerweise ein annullierter Bereich, der durch die Pole der Transformationsfunktion bestimmt wird. Die Lage der ROC hängt von der Signallaufzeit ab: kausale Systeme besitzen ROC außerhalb des äußeren Pols, anti-kausale Systeme innerhalb des innersten Pols, und gemischte Fälle ergeben entsprechende Formen.

Pole und Nullstellen charakterisieren das Verhalten des Systems. Für ein lineares zeitinvariantes System mit Transferfunktion H(z) = Y(z)/X(z) bestimmen Pole und Nullstellen die Stabilität und die Dynamik. Stabilität im kausalen Fall bedeutet, dass alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen und die ROC den Unendlichkeitspunkt einschließt, sodass die Einheitsscheibe enthalten ist. Die Frequenzantwort erhält man durch Auswertung von H(z) auf dem Einheitskreis, H(e^{jω}), was der Fourier-Transformation entspricht.

Beziehungen zu anderen Domänen bestehen zur Zeitdiskreten Fourier-Transformation (DTFT) und zur Bilinear-Transformation, die S- und Z-Domäne verbindet. Typische Anwendungen umfassen digitale Filter, Audiosignalverarbeitung, Kommunikationssysteme und Regelungstechnik. Unterscheidungen umfassen bilaterale und unilaterale Z-Transformation sowie verschiedene ROC-Topologien.