wyznacznikami

Wyznacznik macierzy to liczba przypisana każdej kwadratowej macierzy A, która odzwierciedla właściwości przekształcenia liniowego reprezentowanego przez A. Wśród równań używa się oznaczenia det(A) lub |A|. Wyznacznik pozwala określić, czy macierz jest odwracalna: det(A) ≠ 0 oznacza istnienie odwrotności, det(A) = 0 – macierz jest osobliwa. W polskich tekstach terminy wyznacznik i wyznaczniki bywają stosowane zamiennie, a forma wyznacznikami występuje w narzędnikowej konstrukcji zdania.

Dla macierzy 2×2 o postaci A = [[a, b], [c, d]] wyznacznik wynosi det(A) = ad − bc. Ogólna formuła Leibniza gives det(A) = ∑σ sign(σ) ∏i a_{i, σ(i)}, sumując po wszystkich permutacjach σ. W praktyce często wykorzystuje się rozkład LU lub eliminację Gaussa: det(A) jest wtedy iloczynem wartości na diagonalach macierzy górnotrójkątnej po uwzględnieniu liczby zamian wierszy (znaku det).

Właściwości det(A) obejmują m.in. det(AB) = det(A) det(B), det(A^T) = det(A), det(I) = 1, det(0) = 0. Det(A) = 0 oznacza, że A nie ma odwrotności (jest osobliwa). Operacje na wierszach wpływają na wyznacznik: zamiana dwóch wierszy mnoży det przez −1, pomnożenie całego wiersza przez skalar c mnoży det przez c, dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego nie zmienia det.

Wyznaczniki mają szerokie zastosowania: rozwiązanie układów liniowych (np. w niektórych formułach Cramera), wyznaczniki własne w równaniu charakterystycznym, zmiana zmiennych w całce (det Jacobiego), a także interpretacje geometryczne – det określa skalę objętości przekształcenia oraz jego orientację. W praktyce pojęcie wyznacznika ma fundamentalne znaczenie w algebrze liniowej i analizie wielowymiarowej.