wyznacznika

Wyznacznik macierzy, oznaczany det(A) lub |A|, jest skalarową funkcją przypisaną macierzy kwadratowej A o rozmiarze n×n. W interpretacji geometrycznej wyznacznik opisuje, o ile jednostkowa objętość w przestrzeni jest skalowana przez liniany przekształcenie reprezentowane przez A. Dla macierzy 2×2 A = [[a,b],[c,d]] wyznacznik ma prostą postać det(A) = ad − bc.

Formalnie det(A) = ∑_{σ∈S_n} sign(σ) ∏_{i=1}^n a_{i,σ(i)}, gdzie S_n to grupa permutacji, a sign(σ) to znak permutacji. Istnieje również definicja operacyjna oparta na własnościach wierszy i kolumn: det jest wieloliniowy w wierszach (i kolumnach) i antysymetryczny wobec zamiany dwóch wierszy. Wykonanie operacji wierszowych wpływa na wartość wyznacznika w następujący sposób: zamiana dwóch wierszy mnoży det przez −1, pomnożenie jednego wiersza przez skalar c mnoży det przez c, dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego nie zmienia det.

Najważniejsze własności to: det(A) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A jest osobliwa (nieodwracalna); det(A^T) = det(A); det(AB) = det(A) det(B); det(I) = 1; det(A^{-1}) = det(A)^{-1} (dla odwracalnych A). Dla macierzy dolnotrójkątnej lub górnotrójkątnej det(A) równa się iloczynowi składowych na przekątnej. Wyznacznik odzwierciedla również możliwość odwrócenia transformacji i orientację układu współrzędnych.