wielomianów

Wielomian to wyrażenie matematyczne zbudowane z jednej zmiennej x, stałych oraz operacji dodawania, odejmowania i mnożenia, w którym potęgi x są nieujemne całkowite. Ogólna postać to P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, gdzie współczynniki a_i pochodzą z wybranego pierścienia lub ciała, najczęściej z liczb rzeczywistych lub zespolonych. Stopień wielomianu to najwyższa wykładnikowa potęga x z niezerowym współczynnikiem, a a_n nazywany jest współczynnikiem wiodącym.

Wielomiany mogą być traktowane jako funkcje przypisujące każdemu punktowi x wartość P(x). Operacje na nich obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie z resztą; istnieje algorytm dzielenia wielomianów, który prowadzi do reprezentacji w postaci ilorazu i reszty. Remainder Theorem stwierdza, że dzieląc P(x) przez (x − a), reszta to P(a). Faktoryzacja polega na rozkładzie P(x) na czynniki, najczęściej nad ciałem liczb zespolonych: P(x) = a_n (x − r_1) ... (x − r_n), gdzie r_i są pierwiastkami P.

Pierwiastki wielomianów są kluczowe dla ich struktury. Twierdzenie fundamentalne algebry mówi, że każdy wielomian stopnia n≥1 nad liczbami zespolonymi ma dokładnie n pierwiastków (licząc wielokrotności). Nad liczbami rzeczywistymi pierwiastki mogą być rzeczywiste lub występować w parach sprzężonych. Niektóre wielomiany są nierozkładalne nad liczbami rzeczywistymi, np. x^2+1.

Zastosowania obejmują modelowanie zjawisk, interpolacje wartości oraz analizę sygnałów i problemów algebraicznych. Przykładowy wielomian P(x) = x^2 + 3x + 2 rozkłada się na czynniki (x+1)(x+2).