transformreeks

Transformreeks is een verzamelnaam in de wiskunde voor een reeks representaties van een functie die gebaseerd is op een transformatie met een basis van functies of op de eigenfuncties van een operator. In een transformreeks wordt een functie f(x) uitgedrukt als een oneindige som f(x) = sum_{n=0}^∞ c_n φ_n(x), waarbij φ_n(x) een geschikte set basisfuncties is en c_n de coëfficiënten die zijn afgeleid van de transformatie. Bij orthogonale basisfuncties kunnen de coëfficiënten via een projectie bepaald worden, bijvoorbeeld c_n = ⟨f, φ_n⟩ / ⟨φ_n, φ_n⟩.

Een bekend voorbeeld is de Fourier-reeks: voor een periodieke functie met periode 2π, f(x) ∼ a0/2 + sum_{n=1}^∞ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)], met de coëfficiënten berekend uit integrals. Andere transformreeksen omvatten toepassingen op basis van trigonometrische, polynoom- of orthogonale-basis zoals Chebyshev of Legendre, of discrete transformreeksen zoals de Z-transformatie of de discrete Fourier-transformatie, die in discrete gevallen convergentie garanderen.

Convergentie en eigenschappen: afhankelijk van gladheid en randvoorwaarden kan de reeks puntvoor of uniform convergeren; Parseval- en Bessel-relaties geven verbanden tussen coëfficiënten en functie-normen.

Toepassingen: signaalverwerking, oplossing van differentiaalvergelijkingen, data-analyse.

Zie ook: Fourier-reeks, Fourier-transformatie, Z-transformatie, orthogonale reeksen.