functienormen

Functienormen zijn normen die gedefinieerd zijn op ruimten van functies. Een norm is een kaart ||·|| van een vectorruimte V naar de niet-negatieve reële getallen die voldoet aan drie voorwaarden: ||f|| = 0 precies als f = 0, homogeniteit ||αf|| = |α| ||f|| voor elke scalar α, en de driehoeksongelijkheid ||f + g|| ≤ ||f|| + ||g|| voor alle f, g in V. Een norm geeft zo een maat voor de grootte van een functie en induceert een metriek d(f,g) = ||f − g||, waardoor men concepten als convergentie en afstand tussen functies kan definiëren.

Belangrijke voorbeelden zijn L^p-normen. Voor een meetruimte (X, Σ, μ) en p ∈ [1, ∞) is ||f||_p = (∫ |f|^p dμ)^{1/p} als f ∈ L^p(μ); voor p = ∞ neemt men ||f||_∞ = ess sup_{x∈X} |f(x)|. De ruimten L^p(μ) zijn Banachruimten, en voor p = 2 levert ||f||_2 een Hilbertruimte via ⟨f,g⟩ = ∫ f g dμ. Een ander veelgebruikt voorbeeld is C(K) op een compacte ruimte K met de sup-norm ||f||_∞ = max_{x∈K} |f(x)|.

Normen worden gebruikt om de grootte en de afstand tussen functies te meten, en vormen een fundamenteel hulpmiddel bij convergentie, stabiliteit en optimalisatie in analyses zoals Fourier-analyse, differentiaalvergelijkingen en numerieke methoden. Daarnaast bestaan samengestelde normen, zoals Sobolev-normen, die normen van functies combineren met die van hun afgeleiden en daardoor beter geschikt zijn voor de studie van eigenschappen van functies in PDE’s en variatieproblemen.