trajektorien

Trajektorien (Singular: Trajektorie) bezeichnet in der Regel die Kurve, die ein bewegter Punkt im Raum als Funktion der Zeit beschreibt. Im einfachsten Fall ist sie eine zeitabhängige Abbildung r(t) = (x(t), y(t), z(t)) in einem euklidischen Raum. Trajektorie unterscheidet sich damit von der bloßen geometrischen Lage (der Kurve als Ort) dadurch, dass die zeitliche Entwicklung mitgegeben wird. In vielen Kontexten spricht man auch von Pfaden oder Bahnen, wobei der Begriff Pfad häufiger die Abfolge der Positionen ohne explizite Zeitangabe betont.

Formal lässt sich eine Trajektorie als Lösung eines Anfangswellengleichungssystems betrachten. In der klassischen Mechanik ergibt sich r′′(t) = a(r(t), t) bzw. im Vakuum r′′(t) = F(r(t), t)/m, wobei r(t) die Position eines Teilchens ist. Allgemeiner formuliert, entspricht eine Trajektorie der Integralkurve eines Vektorfeldes, dx/dt = f(x, t), mit Anfangsbedingungen x(t0) = x0. Der geometrische Ort der Punkte ohne Berücksichtigung der Zeit wird als Umlauf oder Orbit bezeichnet; die Trajektorie enthält die zeitliche Entwicklung.

Anwendungsfelder reichen von Physik und Astronomie über Robotik und Steuerungstechnik bis hin zur Computergraphik. Dort wird Trajektorie oft durch Kurven wie Geraden, Kreisbögen oder Splines beschrieben, um einen geplanten Weg zu erreichen oder Bewegung zu animieren. In der Analyse spielt die Geschwindigkeit v(t) = r′(t) sowie Beschleunigung a(t) = r′′(t) eine zentrale Rolle, ebenso Kurvenparameterisierung, Glätten und Optimierung unter Nebenbedingungen.