topologías

Topologías es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades del espacio que se conservan bajo transformaciones continuas. En este marco, un espacio topológico se compone de un conjunto X y una colección T de subconjuntos de X, llamados abiertos, que satisfacen axiomas simples: ∅ y X son abiertos; la unión de cualquier familia de abiertos es abierta; la intersección finita de abiertos es abierta. A partir de esta estructura se pueden definir conceptos como vecindades, límites y continuidad de funciones entre espacios.

La noción de apertura permite definir la continuidad sin necesidad de medir distancias. Una función f de un espacio topológico X a otro espacio Y es continua si la preimagen de cada conjunto abierto de Y es abierto en X. A partir de la topología se puede hablar de convergencia de redes y de secuencias, de cierres y de interiores, de conectividad y de compacidad. También se estudian estructuras como bases y subespacios: un subconjunto A de X puede heredar una topología inducida, y se puede equipar X con topologías distintas para obtener diferentes propiedades.

Existen numerosos ejemplos y tipos de topologías. La topología usual de R^n es la que se utiliza en análisis y geometría; la topología discreta considera como abiertos todos los subconjuntos; la topología trivial contiene únicamente ∅ y X. Otras topologías relevantes incluyen la topología de Zariski en geometría algebraica y topologías producto, métricas o inducidas por métricas. Las topologías se estudian también en la teoría de conjuntos, la teoría de categorías y en áreas como la geometría diferencial y la teoría de la dependencia.