toepassingsnorm

Toepassingsnorm, in de wiskunde meestal de operatornorm genoemd, is de norm van een lineaire afbeelding tussen normed spaces. Als X en Y normgedeelde ruimten zijn met de normen ||·||_X en ||·||_Y en T:X→Y een lineaire afbeelding, dan is de oplossing van de norm van T gedefinieerd als ||T|| = sup_{x ∈ X, x ≠ 0} ||Tx||_Y / ||x||_X. Even eenvoudiger kan men schrijven ||T|| = sup_{||x||_X = 1} ||Tx||_Y. Deze norm geeft een bovengrens voor de vergroting van maten die T kan bewerkstelligen: voor alle x geldt ||Tx||_Y ≤ ||T|| · ||x||_X.

De operatornorm voldoet aan de eigenschappen van een norm en is in het bijzonder submultiplicatief voor samenstellingen: voor lineaire afbeeldingen S: Y→Z geldt ||S T|| ≤ ||S|| · ||T||. Daarnaast is ||T|| = 0 uitsluitend als T de nulafbeelding is. In finite dimensies kan de norm van T vaak berekend worden via matrices: T wordt voorgesteld door een matrix A, en de geïnduceerde p-norms worden gedefinieerd als ||A||_p = sup_{||x||_p = 1} ||A x||_p voor p ∈ {1, 2, ∞}.

Belangrijke voorbeelden zijn de Euclidische (p=2) operatornorm, die overeenkomt met de grootste singular waarde van A, en de normen ||A||_1 en ||A||_∞, die overeenkomen met de maximale kolom- dan wel rijsom van absolute waarden. Toepassingsnorm wordt veel gebruikt in analyse van stabiliteit, foutenschatting in numerieke methoden, en in de bepaling van de condition number van een probleem.

Zie ook: lineaire afbeelding, Banachruimte, matrixnormen, lipschitzconstante.