tillståndsrumsliga

Tillståndsrumsliga refererar till representationer av dynamiska system i tillståndsrum, där systemets minne och dynamik fångas i en tillståndsvektor x och där in- och utdata beskrivas via enkla första ordningens ekvationer. Sådana representationer används ofta inom matematik, reglerteknik och systemteori eftersom de förenklar analys och design av system, särskilt för multi-ingång/multi-utgång (MIMO) tillståndsmaskiner.

Den vanligaste formen är kontinuerlig tid: ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du, där x ∈ R^n är tillståndsvektorn, u ∈ R^m insignalen och y ∈ R^p utgången. A är n×n, B är n×m, C är p×n och D är p×m. För diskret tid: x_{k+1} = Ax_k + Bu_k, y_k = Cx_k + Du_k. Detta möjliggör både tidsbaserad analys och enkel modellering av volym- och rotationsdynamik.

Förhållandet till överföringsfunktionsrepresentationer görs via överföringsfunktionen G(s) = C(sI − A)^{-1}B + D i kontinuerlig tid eller G(z) = C(zI − A)^{-1}B + D i diskret tid. En tillståndsrumslig modell kan realisera samma input-output-beteende som en given transferfunktion, under antagande om stabilitet och minimal realisering (kontrollerbar och observerbar).

Genom olika kanoniska former kan man erhålla minimalistiska realiseringar, exempelvis kontrollerbar eller observerbar canonical form. Omvandling mellan tillståndsrumsliga realiseringar och överföringsfunktioner görs genom realizationsmetoder som bland annat väljer bas i tillståndsutrymmet.

Användningar inkluderar reglerdesign (statlig återkoppling och observerare), modellbaserad kontroll och simulering av MIMO-system. Begränsningar är att modellen ofta är linjär och tidsinvariant, vilket inte alltid fångar verkliga system; icke-linjära eller tidsvarierande beteenden kräver förlängningar som övregüns av estima­tion och analys.