överföringsfunktionen

Överföringsfunktionen är ett centralt begrepp inom signalsystemteori som beskriver relationen mellan systemets inmatning och utmatning för linjära tidsinvarianta (LTI) system. I kontinuerlig tid betecknas den vanligen som G(s) och definieras som Y(s)/U(s) när initialvillkoren är noll. I diskret tid används ofta H(z). För kontinuerliga system är G(s ofta också Laplace-transformen av systemets impulsrespons g(t): G(s) = L{g(t)}.

Om systemet beskrivs av en LTI-ordinär differentialekvation y^(n) + a_{n-1} y^{(n-1)} + ... + a0 y = b_m u^{(m)} + ... + b0 u, så är överföringsfunktionen G(s) = (b_m s^m + ... + b0) / (s^n + a_{n-1} s^{n-1} + ... + a0). Initialvillkoren måste vara noll för att återspegla det rena förhållandet mellan u och y. Impulsresponsen g(t) är inverse Laplace-transformen av G(s).

Poler och nollställen avgör systemets beteende: G(s) kan skrivas som G(s) = K ∏ (s - z_i) / ∏ (s - p_i). Polerna p_i styr stabilitet: för kontinuerliga system krävs att alla p_i ligger i vänstra halvplanet för en ändlig tidsrespons; för diskreta system gäller att polerna ligger inom enhetscirkeln för stabilitet.

Överföringsfunktionen ger frekvensresponsen G(jω) i kontinuerlig tid eller G(e^{jΩ}) i diskret tid, vilket används i Bode-plots och forskningen om dynamik. Den har även koppling till tillståndsrumsmodeller via G(s) = C(sI − A)^{-1} B + D. Exempelvis är G(s) = 1/(RCs + 1) för ett enkelt RC-krets, och G(s) = 1/s för en integrator.