tijdstapintegratie

Tijdstapintegratie is een groepsnaam voor numerieke methoden die de tijdontwikkeling van een dynamisch systeem beschrijven door middel van discrete tijdstappen. In tegenstelling tot analytische oplossingen berekent men de oplossingswaarde aan tijdstippen t_n = nΔt op basis van de huidige toestand en soms eerdere toestanden. Het doel is om de oplossing van differentiële vergelijkingen ODE's of PDE's in de tijd te approximateeren.

Algemene benadering: de tijdstap Δt bepaalt de resolutie in de tijd. Expliciete methoden berekenen de toekomstige toestand uitsluitend uit bekende informatie, wat meestal sneller is maar beperkt kan worden door stabiliteitsvoorwaarden. Voorbeelden: voorwaartse Euler, Runge-Kutta (bijv. RK4). Impliciete methoden vereisen het oplossen van een vergelijking bij elke stap maar zijn vaak stabieler bij grotere Δt; voorbeelden: achterwaarts Euler, Crank-Nicolson. Multistep-methoden gebruiken meerdere vorige toestanden, zoals Adams-Bashforth en Adams-Moulton.

In praktisch gebruik wordt tijdstapintegratie vaak toegepast in combinatie met ruimtediscretisatie (method of lines) bij PDE's, waarbij de PDE wordt omgezet in een systeem van ODE's in de tijd. De keuze voor Δt hangt af van de gewenste nauwkeurigheid, stabiliteit en de stijfheid van het systeem; bij stijfheid is vaak een implicit schema nodig. Adaptieve tijdstappen passen Δt aan op basis van voorspelde fouten.

Toepassingen omvatten simulaties in natuurkunde, chemie, biologie en engineering, zoals mechanica, elektromagnetische systemen en weers- en klimaatmodellen.