splineInterpolationen

Die Spline-Interpolation bezeichnet Verfahren zur Konstruktion einer glatten Funktion, die durch eine gegebene Menge von Stützpunkten verläuft und diese Punkte exakt interpoliert. Typisch wird eine stückweise polynomiale Funktion verwendet, meist kubische Polynome. Der resultierende Splines ist an den Verbindungsstellen glatt, sodass die Funktionseigenschaften wie Werte, Ableitungen oder Integrale kontinuierlich sind. Stützpunkte sind geordnet: x0 < x1 < ... < xn, und der Splines erfüllt S(xi) = yi für alle i.

Zu den verbreiteten Varianten zählen kubische Splines. Natürliche kubische Splines setzen am Rand die zweite Ableitung gleich Null, geklammte Randbedingungen setzen die ersten Ableitungen an den Endpunkten fest, und Not-a-Knot wählt Randknoten so, dass die höchste Glattheit erhalten bleibt. B-Splines bieten eine generelle Basisdarstellung, die lokale Beeinflussung einzelner Stützpunkte ermöglicht.

Berechnung: Die Koeffizienten der Splines ergeben sich aus einem linearen Gleichungssystem, oft eine dreidiagonale Matrix, deren Lösung die zweiten Ableitungen an den Stützpunkten liefert. Danach werden die einzelnen Spline-Teilstücke zusammengeführt. Die Komplexität liegt in der Regel bei O(n).

Eigenschaften und Anwendungen: Spline-Interpolation liefert glatte Kurven mit C^2-Stetigkeit zwischen Abschnitten und bietet gute Näherungseigenschaften bei regelmäßig verteilten Stützpunkten. Im Vergleich zu rein durch Polynome dargestellten Kurven erhöht sich Stabilität und Lokalkontrolle. Anwendungen finden sich in Computergraphik, Datenvisualisierung, Animation, Datenglättung und als Baustein numerischer Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen.