rotationswinkel

Der Rotationswinkel ist der Winkel, um den ein geometrischer Gegenstand oder ein Koordinatensystem in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum gedreht wird. Er wird üblicherweise mit dem Symbol θ bezeichnet und bestimmt die Richtung sowie das Maß der Drehung. Die Größe wird meist in Grad oder Bogenmaß angegeben und weist eine periodische Eigenschaft auf.

In der Ebene erfolgt eine Rotation gewöhnlich um einen festen Ursprung oder um einen bestimmten Drehpunkt. Die Standard-Drehung um den Ursprung wird durch die Matrix R(θ) definiert: R(θ) = [ [cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ] ]. Diese Abbildung erhält Längen und Orientierung, ist invertierbar und ihre Inverse entspricht einer Drehung um −θ. Positive θ-Werte bedeuten in der Regel eine Gegen-Uhrzeigersinn-Drehung.

In drei Dimensionen wird der Rotationswinkel oft in Verbindung mit einer Achse beschrieben. Eine Rotation findet um eine Achse n mit dem Winkel θ statt. Die entsprechende Rotationsmatrix gehört zur Gruppe SO(3) und lässt sich beispielsweise über die Rodrigues-Formel berechnen. Alternativ werden Eulerwinkel-Kombinationen oder Quaternions verwendet, um komplexe Drehungen zu parametrisieren und Gimbal-Verwechslungen zu vermeiden. Der Rotationswinkel in 3D wird häufig im Bereich von 0 bis π gewählt, da eine Drehung von θ > π äquivalent zu einer Drehung von 2π − θ um die entgegengesetzte Achse ist.

Der Rotationswinkel ist weder intrinsisch eindeutig festgelegt noch unabhängig von der Darstellungsform; derselbe physikalische Drehvorgang kann durch verschiedene Parameterisierungen beschrieben werden. Er ist periodic mit der Periode 2π und die yaw/pitch/roll-Konventionen unterscheiden sich je nach Kontext.

Anwendungsfelder reichen von Computergraphik und Robotik über Geodäsie bis hin zur Molekularphysik, wo Rotationswinkel eine zentrale Rolle in Transformationsgleichungen, Kinematik und Orientierungsproblemen spielen.