raakvlak

Een raakvlak, ook wel tangentvlak genoemd, is in de meetkunde het vlak dat een oppervlak op een gegeven punt zo dicht mogelijk benadert. Voor een oppervlak S in de driedimensionale ruimte en een punt p in S bestaat er bij een glad punt p een uniek raakvlak dat S in die punt raakt en de eerste-orde nabijheid van S bij p bepaalt.

Formeel kan een impliciet oppervlak F(x,y,z)=0 met F differentiabel zijn raakvlak geven via de normaalvector ∇F(p). Als ∇F(p) ≠ 0, dan geldt voor alle X in R^3 dat ∇F(p) · (X − p) = 0; dit is het vlak door p met normaalvector ∇F(p). Bij een parametrisch oppervlak r(u,v) is het raakvlak op p = r(u0,v0) het vlak met nl: n = ∂r/∂u × ∂r/∂v at p, en n · (X − p) = 0.

Eigenschappen: het raakvlak is uniek bij een glad punt van een oppervlak. Als de gradient ∇F(p) = 0 is, kan het raakvlak niet op een eenvoudige wijze gedefinieerd worden. Het raakvlak geeft een first-order (lineaire) benadering van het oppervlak bij p en is precies orthogonaal aan de richting van de normale vector.

Voorbeelden: bij het vlak F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2−R^2 is p een punt op de bol, en het raakvlak bij p heeft de vergelijking x0 x + y0 y + z0 z = R^2, waarbij p=(x0,y0,z0). Een ander voorbeeld is de bolnucleus waarbij het raakvlak op p ook langs de normale lijn door p ligt.

Toepassingen komen voor in differentiaalmeetkunde, oppervlakte-analyse en computergraphics, waar raakvlakken onder meer worden gebruikt voor schaduwberekeningen en normals voor shading.