nulpolynoom

De nulpolynoom, ook wel nulpolynoom genoemd, is de polynoom die overal gelijk is aan nul. Formeel geldt: als p(x) = a_k x^k + ... + a_0 een polynoom is, dan is p de nulpolynoom precisely wanneer alle coefficients a_i gelijk aan nul zijn. In dat geval is p(x) identiek nul voor elke waarde van x.

In de algebra van polynomen fungeert de nulpolynoom als het additieve identiteitsobject. Het is het enige element dat bij optelling geen verandering teweegbrengt: p(x) + 0 = p(x) voor elke polynoom p. In een polynoomring R[x] (waar R een ring is) vormt de nulpolynoom het identiteits- (“0”) element onder toevoeging. Vaak wordt de graad van de nulpolynoom gedefinieerd als −∞ om bepaalde eigenschappen, zoals deg(pq) = deg(p) + deg(q) voor niet-nulpolynoomen, consistent te houden; sommige auteurs behandelen deg(0) als undefined.

Wat het evalueren betreft: voor elke waarde a uit de onderliggende structuur geldt p(a) = 0. Daarmee is de nulpolynoom de nulfunctie op het domein waar de polynoom op is gedefinieerd. Dit onderscheidt het object zowel van polynomen die de nulfunctie als functie representeren (niet van toepassing in formele polynoomruimte, maar wel in een functie-interpretatie) als van andere polynomen die wel gebieden van nul kunnen hebben.

In verschillende contexten kan men spreken over de nulpolynoom als essentieel element in algoritmen voor polynoomdeling, het nemen van greatest common divisors, en in theorieën over factoren en structuren van polynoomringen. Een voorbeeld is eenvoudig: p(x) = 0*x^3 + 0*x^2 + 0*x + 0.