metriekcombinaties

Metriekcombinaties verwijzen naar methoden om met behulp van bestaande metrische ruimten op dezelfde verzameling X een nieuwe metriek te construeren. Gegeven een eindige familie metriekmetingen d1, d2, ..., dk op X, kan men een enkele metriek d op X definiëren door combinaties van deze di’s.

Veel gebruikte constructies zijn onder meer: een gewogen som d(x,y) = w1 d1(x,y) + w2 d2(x,y) + ... + wk dk(x,y), met positieve gewichten wi > 0. Deze som is een metriek als elk di een metriek is; triangle inequality volgt uit die van de di’s en de positieve gewichten. Een tweede klassieke constructie is d(x,y) = max_i di(x,y); ook dit is een metriek en blijft een metriek omdat di ≤ d en d ≤ sum, wat topologie-implicaties oplevert.

Algemene criteria voor metriekcombinaties: als φ: R_+^k → R_+ een functie is die in elk argument toeneemt en subtotaal-achtige eigenschappen heeft (bijvoorbeeld φ(u+u', v+v', ...) ≤ φ(u,v,...) + φ(u',v',...)), dan kan d = φ(d1,...,dk) een metriek zijn. Voorbeelden zijn de som en de maximum, maar niet alle nietlineaire combinaties samenwerken; bijvoorbeeld min di kan de driehoeksstelling schenden.

Toepassingen en eigenschappen: dergelijke combinaties leveren meestal dezelfde topologie op als de oorspronkelijke familie di; met andere woorden convergenties onder d komen overeen met convergenties onder de di’s. Ze worden veel gebruikt om metrische ruimten op productverzamelingen te definiëren (product- of Lp-metrieken) en om meerdere criteria in één afstandsmaat weer te geven.

Samenvattend bieden metriekcombinaties een praktische en theoretische middel om meerdere metrische informatie samen te voegen tot één coercieve metriek die de gewenste topologie behoudt.