meetgeometrieën

Meetgeometrieën is een tak van de meetkunde die zich bezighoudt met geometrische eigenschappen die voortvloeien uit een afstandsfunctie tussen punten. In tegenstelling tot benaderingen die sterk afhankelijk zijn van coördinaten of constructiemethoden onderzoekt meetgeometrie eigenschappen die invariant blijven onder isometrieën en afhankelijk zijn van de metrische structuur van een ruimte.

De basiseenheid is een metrische ruimte (X, d), waarin d een afstandsfunctie is die voldoet aan niet-negativiteit, symmetrie en de driehoekongelijkheid. Geodesieken zijn kortste paden tussen punten, en een ruimte wordt een lengte-ruimte genoemd wanneer de afstand kan worden uitgedrukt als de lengte van paden.

Een belangrijk deel van meetgeometrie onderzoekt ruimten met kromming, maar puur in de metrische setting. Alexandrov-ruimten definiëren een bovengrens of ondergrens aan de kromming via vergelijking van driehoeken; CAT(k) ruimten zijn ruimten waarin het geodetische gedrag vergelijkbaar is met dat in een modelruimte met kromming k. Gromov-Hausdorff-convergentie en verwante concepten zoals Gromov-hyperboliciteit geven een beeld van grote-ruimte-structuur.

Voorbeelden: Euclidische ruimte R^n met de Euclidische afstand; ruimten met L^p-normen; Riemannische en Finsler-metrische ruimten; grafen gezien als metrische ruimten via de kortste-pad-afstand.

Toepassingen en relaties: meetgeometrie vormt de basis voor geometrische groepentheorie, data-analyse en machine learning door afstands- en embedding-vraagstukken. Ook in computergraphics, beeldvorming en shape analysis leveren metrische ideeën een cruciale bijdrage aan reconstructie en representatie.