lematów

Lematy to dowiedzione twierdzenia w matematyce, które służą ułatwieniu dowodu większego rezultatu. Ich główna funkcja polega na funkcji pomocniczej: prowadzą do osiągnięcia głównego wniosku, nie będąc samodzielnym celem badań. W praktyce wiele kroków prowadzących do tezy końcowej realizowanych jest właśnie przez serie lematu.

Lematy różnią się od twierdzeń samodzielnych i wniosków. Twierdzenie to często finalny rezultat, natomiast corollary (wniosek) wynika bezpośrednio z wcześniejszego twierdzenia. Lematy mogą mieć własną wartość merytoryczną, jednak najważniejsze jest ich zastosowanie jako narzędzi w dowodzie.

Przykłady obejmują m.in.:

- Lemat Euklidesa: jeżeli p jest liczbą pierwszą i p dzieli iloczyn ab, to p dzieli a lub p dzieli b.

- Lemat Zorna: każdy częściowo uporządkowany zbiór, w którym każdy łańcuch ma górny ogranicznik, zawiera element maksymalny; używany w dowodach istnienia obiektów, m.in. w zależności od aksjomatu wyboru.

Inne popularne lematy pojawiają się w różnych dziedzinach matematyki i często są publikowane ze względu na ich użyteczność, a nie ze względu na samodzielną wartość teoretyczną. Strukturą typową dla dowodów z użyciem lematu jest najpierw udowodnienie kilku lematy, a następnie zastosowanie ich do wykazania głównego twierdzenia.

Etymologia: słowo lemma pochodzi z języka greckiego i oznacza założenie lub przyjęcie, które przyjmuje się w procesie rozumowania. W praktyce lematy stanowią kluczowy element metod dowodowych w wielu gałęziach matematyki.