irrotationsfreier

Irrotationsfrei, auch als irrotationsfreier Vektor oder irrotationsfreies Feld bezeichnet, bezeichnet eine Eigenschaft eines Vektorfeldes F in einem Gebiet D. Ein Feld F ist irrotationsfrei, wenn seine Rotation verschwindet, das heißt ∇ × F = 0 in D. In der praktischen Sprache bedeutet dies, dass das Feld keine lokalen Wirbel trägt.

Zusammenhang mit einem Potential: In einem einfach zusammenhängenden Gebiet D existiert zu einem irrotationsfreien Feld F ein skalares Potential φ mit F = ∇φ. φ wird als Potenzial von F bezeichnet. Umgekehrt gilt: Wenn F als Gradient eines skalaren Feldes φ geschrieben werden kann, dann ist ∇ × F = 0. Diese Äquivalenz verbindet die Eigenschaft „irrotationsfrei“ eng mit der Existenz eines Potentialfeldes.

Beschränkungen und Geometrie des Gebietes: Die Aussage, dass ein irrotationsfreies Feld konservativ ist, gilt unter der Voraussetzung, dass D einfach zusammenhängend ist. In Gebieten mit Löchern oder topologischen Barrieren kann ∇ × F = 0 lokal erfüllt sein, ohne dass es ein globales Potential φ gibt. Ein bekanntes Beispiel ist das Feld F(x,y) = (-y, x)/(x^2 + y^2) in R^2 \ {0}, das außerhalb des Ursprungs den Curl Null hat, aber kein globales Potential in diesem Gebiet besitzt.

Beispiele und Anwendungen: Ein einfaches Beispiel ist F = ∇φ mit φ = (x^2 + y^2 + z^2)/2, wodurch F irrotationsfrei ist. In der Elektrostatik und Strömungsmechanik erscheinen irrotationsfreie Felder als konservative Felder, die durch ein Skalarpotential beschrieben werden können.