integreringsmått

Integreringsmått är inom måttteorin en måttfunktion som används vid konstruktionen av integraler. Begreppet syftar på den måttstruktur som används när man integrerar funktioner över ett rum.

Ett mått μ är en funktion μ: F → [0, ∞] där F är ett σ-algebra över X, som uppfyller μ(∅) = 0 och μ(∪i Ai) = Σ μ(Ai) för parvist disjunkta Ai. Sådan additivitet kallas σ-additivitet och är en grundläggande egenskap hos mått.

Med ett sådant mått definieras Lebesgue-integralen av en måttbar funktion f: X → [−∞, ∞] som ∫ f dμ. Integralen behandlar både obestämda och ändliga värden genom delarna f+ och f− där f = f+ − f− och ∫ f dμ = ∫ f+ dμ − ∫ f− dμ, med lämplig grenning beroende på integralerna.

Egenskaper och teorem knutna till integrationsmått innefattar bland annat monotone och dominerade konvergenstest, Fubinis sats, samt transformationssatsen med Jacobian vid förändring av variabler. Dessa resultat gör det möjligt att byta ordning på integration, sammanfoga rumsspecifika operationer och behandla produkter och sammansättningar av funktioner.

Typer av mått inkluderar finite mått (μ(X) < ∞), σ-finite mått (X kan delas upp i förnybara mängder med ändlig μ) samt sannolikhetsmått (μ(X) = 1). Vanliga exempel är Lebesgue-måttet på ℝ^n och räkne– eller observeringsmått på en given mängd. Sannolikhetsmått används i sannolikhetsteori och statistik för att modellera fördelningar och förväntningar.

Se även måttteori, Lebesgue-integral, Fubinis sats, och förändring av variabler.