måttteori

Måttteori är en gren av matematiken som studerar hur man kan tilldela storheter till samlingar av objekt på ett systematiskt sätt. Ett måttrum består av en mängd X, en σ-algebra 𝓕 av undersamlingar till X och en mått μ: 𝓕 → [0, ∞], som uppfyller μ(∅) = 0 och σ-additivitet: om B1, B2, … är parvis disjunkta och var och en tillhör 𝓕, så gäller μ(∪i Bi) = ∑i μ(Bi).

Vanliga exempel är Lebesgue-måttet på den reella tallinjen, som tilldelar storheter till intervall och deras unioner, samt räknningsmåttet som ger antalet element i en mängd. Ett mått som uppfyller μ(X) = 1 kallas ett sannolikhetsmått. Måttteori ger också den grundläggande ramen för att definiera mätbara funktioner och deras integraler.

Integration med avseende på ett mått byggs upp utan krav på kontinuitet hos funktionen. Lebesgue-integralen definieras för enkla funktioner och byggs vidare via gränsvärden. Viktiga satser är monotone konvergenstetsatsen, den dominerande konvergenstetsatsen och Fubinis sats, som bland annat gör det möjligt att byta ordning vid flera integraler och att hantera produkter och begränsningar av funktioner.

Konstrueringar och förlängningar av mått omfattar Carathéodorys förlängning, som utökar ett mått från en algebra av mängder till en σ-algebra. Produktmått och pushforward-mått beskriver mått på produktutrymmen och efter avbildningar. Inom måttteori studeras även Radon-mått och σ-finitet, vilka ofta förenklar teorin och dess tillämpningar.

Användningar är breda och inkluderar sannolikhetsteori, statistisk modellering, analys, funktionalanalys, ergodikteori och geometri. Måttteori utgör grunden för Lp-rummen och teorier om integrabla funktioner samt inriktningar inom geometri och dynamik.