integratiegrenzen

Integratiegrenzen, in calculus, zijn de getallen die de interval aangeven waarover een integraal wordt geëvalueerd. Bij een definitieve integraal wordt de integratie uitgevoerd tussen de ondergrens a en de bovengrens b, genoteerd als ∫_a^b f(x) dx. De grenzen bepalen zowel het domein als de richting van de berekening: als a < b is de waarde het gebied onder de kromme f tussen a en b; als a > b wordt de integraal negatief van ∫_b^a f(x) dx.

De grenzen zijn essentieel voor de relatie tussen antiderivaat en integraal via de fundamentenwet van de calculus: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) waarbij F′(x) = f(x). Grenzen leveren zo een exacte evaluatie zonder een primitieve F expliciet te hoeven schrijven. Indefinite integralen hebben geen grenzen en leveren een familie van antiderivaten op, verschillend per gekozen constant.

Impropers: grenzen kunnen oneindig zijn, bijvoorbeeld ∫_a^∞ f(x) dx of ∫_{−∞}^{∞} f(x) dx. Zulke integralen bestaan als de bijbehorende limit convergeren. Bij meer variabelen bepalen grenzen de regio waarbinnen men integreert; bij dubbel- en drievoudige integralen geven ze het gebied in het vlak of in de ruimte.

Veranderingen van variabelen veranderen ook de grenzen: met een substitutie u = g(x) veranderen a en b in g(a) en g(b). Voor meerdere integralen volgt dit principe op een meer complexe maar vergelijkbare manier.

Voorbeelden: ∫_0^1 x^2 dx = 1/3. Een ander voorbeeld: ∫_2^5 (3x+1) dx = [1.5x^2 + x]_2^5 = 34.5. Grenzen zijn dus cruciaal voor de definitie en evaluatie van integralen.