integratiefactor

Een integratiefactor is een functie die wordt gebruikt bij lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen van de vorm y' + p(x) y = q(x). Door beide zijden van de vergelijking te vermenigvuldigen met μ(x) = exp(∫ p(x) dx) wordt de linkerkant een afgeleide van μ(x) y(x), zodat de vergelijking kan worden geïntegreerd.

Door deze keuze ontstaat (μ y)' = μ q, wat betekent dat μ y = ∫ μ q dx + C. Hieruit volgt de oplossing y = exp(-∫ p dx) [∫ exp(∫ p dx) q dx + C]. Als p en q continu zijn op een interval, bestaat er daarmee een unieke oplossing die voldoet aan een gegeven beginwaarde y(x0) = y0.

Voorbeeld: los y' + 2y = e^{3x}. Hier is p = 2 en μ(x) = e^{2x}. Dan (e^{2x} y)' = e^{2x} e^{3x} = e^{5x}. Integreren geeft e^{2x} y = (1/5) e^{5x} + C, dus y = (1/5) e^{3x} + C e^{-2x}.

De methode is een standaard techniek voor lineaire eerste-orde ODE's en wordt ook wel de methode van de integraal- of integrerende factor genoemd. Het doel is om van een niet-zelfwaardige vergelijking een integraalbaar formaat te maken door de linkerzijde tot een exacte afgeleide te vereenvoudigen. Toepassingen komen veel voor in wiskunde, natuurkunde en ingenieurswetenschappen.