injectietheorie

Injectietheorie is een verzamelnaam voor wiskundige theorieën die zich bezighouden met injectieve functies en met gerelateerde constructies in verschillende takken van de wiskunde, zoals set-theorie, algebra en categorie theorie. Een kernbegrip is de injectie, een functie of morphisme waarbij verschillende inputwaarden altijd naar verschillende outputwaarden worden gestuurd.

In de context van functies betekent injectie dat f: A → B one-to-one is: als f(a1) = f(a2) dan a1 = a2. Injectieve functies houden dus informatie vast en worden vaak gebruikt om een object in een grotere ruimte zonder verlies van onderscheidingen te plaatsen. Voorbeelden zijn de inclusie i: X → Y van een subset X in Y, die altijd injectief is, of een afbeelding die twee verschillende elementen uit het domein naar verschillende elementen in het codomein stuurt.

In categorie theorie en algebra zijn er uitgebreidere verbonden concepten onder de noemer injectie. Een object kan “injectief” zijn ten opzichte van een bepaalde verzameling morfismen als elke morfeemuitbreiding door een bestaand morfeem te verlengen is. Ook bestaan er injectieve objecten zoals injectieve modules, en constructies als injectieve hulls en injectieve resoluties die belangrijk zijn in de homologische algebra voor het berekenen van Ext-groepen.

Toepassingen van injectietheorie komen onder meer voor in functie- en bindingstheorie, algebra, en in de manier waarop men continuïteit en uitbreidbaarheid van structuren bestudeert. Verwante concepten zijn onder andere surjectie, monomorfismen en projectieve objecten.

Zie ook: injectieve functies, monomorfismen, projectieve objecten, homologische algebra, Ext-groepen.