hoekbisectoren

Een hoekbisector is een rechte die een hoek verdeelt in twee gelijke hoeken. Het is de verzameling van alle punten die op een gelijke afstand liggen van de twee benen van die hoek. In een vlak liggen er drie hoofdhoekbisectoren bij een driehoek: drie inwendige en drie externe, maar de drie inwendige bisectors snijden elkaar in één punt.

In een driehoek snijden de inwendige hoekbisectoren elkaar in het incentrum van de driehoek. Dit punt ligt op gelijke afstand van alle drie de zijden, wat overeenkomt met de straal van de ingeschreven cirkel (incirkel) die de drie zijden raakt. De drie externe hoekbisectoren snijden elkaar in een excentrum, het middelpunt van een excirkel die tegen één zijde en de verlengingen van de andere twee zijden ligt.

Belangrijke eigenschappen en stellingen:

- De hoekbisector van een hoek verdeelt de tegenoverliggende zijde in twee delen met BD:DC = AB:AC (hoekbij de zijde BC bij A).

- Het incentrum is het gemeenschappelijk snijpunt van de drie inwendige hoekbisectoren.

- De lijn die het hoekpunt verbindt met het snijpunt van een externe en een interne bisector is een excentrische lijn; de bijpassende excentrische cirkel raakt de zijden of hun verlengingen.

Constructie en formules:

- Constructie met passer en liniaal: vanuit het hoekpunt A teken je een boog die de twee benen raakt, teken vervolgens met dezelfde straal boogpunten op de benen en teken de lijn door A en het raakpunt in het midden; dit is de hoekbisector.

- Lengte van een hoekbisector in een driehoek met zijden a = BC, b = CA, c = AB: l_a = sqrt(b c [1 - a^2/(b+c)^2]) of equivalently l_a = (2 b c cos(A/2))/(b+c).

Toepassingen en varianten worden veelvuldig toegepast in meetkunde en tracering, en vormen een basisbegrip bij de analyse van driehoeken en hun incirkels en excirkels.