hazardfunktion

Die Hazardfunktion, kurz Hazardrate, ist ein zentrales Konzept der Überlebensanalyse. Sie ist die momentane Risikostruktur dafür, dass das Ereignis zum Zeitpunkt t eintritt, vorausgesetzt, das Individuum hat bis t überlebt. Für stetige Lebensdauern gilt h(t) = f(t) / S(t), mit f(t) der Dichte von T und S(t) der Überlebensfunktion S(t) = P(T > t).

Die Hazardfunktion ist keine Wahrscheinlichkeit, sondern eine bedingte Wahrscheinlichkeitsrate. Aus h ergibt sich die Überlebensfunktion durch S(t) = exp(-∫0^t h(u) du) und F(t) = 1 − S(t). Bei konstanter Hazard folgt eine Exponentialverteilung; zeitabhängige Hazards modellieren steigende oder fallende Risiken.

Schätzung erfolgt sowohl nichtparametrisch als auch parametrisch. Nichtparametrische Schätzer umfassen Nelson–Aalen für die kumulative Hazard und Kaplan–Meier für S(t). Parametrische Modelle schließen Weibull, Gompertz und das Cox-Proportional-Hazards-Modell ein, das h(t|X) = h0(t) exp(β′X) verwendet.

Anwendungen finden sich in Medizin, Epidemiologie, Biologie und Zuverlässigkeitstechnik. Die Hazardfunktion ermöglicht das Verständnis von zeitabhängigem Risiko, den Effekt von Kovariaten und den Vergleich von Behandlungsgruppen durch Hazard-Ratios.