functiegroepen

Functiegroepen zijn wiskundige groepen waarvan de elementen functies zijn die van een verzameling X naar zichzelf gaan, en waarvan de groepsbewerking is gegeven door functiecompositie. In de praktijk betekent dit dat een functiegroep G een verzameling is van bijections X → X, gesloten onder samenstelling en met inverse in G. Hierdoor vormt G een permutatiegroep op X. Als G alleen bijecties bevat, wordt G vaak gezien als een groep van symmetries van X; als er niet-bijectieve functies aanwezig zijn, levert de verzameling geen groep op onder samengestelling (wel bijvoorbeeld een monoid).

Een groep die alle bijecties van X bevat, heet de volledige symmetrische groep S_X. Een functiegroep is dus een subgroep van S_X. De actie van G op X is g(x) = g(x) en levert een groepsactie op, met als belangrijke concepten orbits en stabilisatoren. Gate van de actie leidt tot inzichten over de structuur van G en X, bijvoorbeeld via de orbit-stabilisatorstelling.

Voorbeelden zijn onder meer de symmetrische groep S_n als permutatiegroep van de n elementen {1,…,n}, de cyclische groep C_n gegenereerd door een n-cyclus, en de dihedrale groepen D_n die de symmetrieën van een regelmatige n-gon beschrijven.

Belangrijke resultaten en concepten omvatten onder meer transitive en regelmatige acties, Cayley's stelling die elk groep is isomorf met een subgroep van een symmetrische groep, en representaties van groepen door permutaties. Toepassingen komen veel voor in de studie van symmetrieën in natuurkunde en scheikunde, grafentheorie en combinatoriek.