functiefamilie

Een functiefamilie, of familie van functies, is een verzameling functies f_λ: X → Y die is geïndexeerd door een indexverzameling Λ. We schrijven vaak F = {f_λ | λ ∈ Λ} of F: Λ × X → Y met F(λ, x) = f_λ(x). Voor elk λ ∈ Λ is f_λ : X → Y en voor elk x ∈ X is λ ↦ f_λ(x) een functie van het indexpunt.

Veel voorkomende voorbeelden zijn bijvoorbeeld een lineaire familie op R: f_{a,b}(x) = a x + b waarbij (a,b) ∈ R^2; en een vermenigvuldigingsfamilie f_t(x) = t x met t ∈ R. In analyse en topologie wordt vaak gesproken over eigenschappen van een familie, zoals puntgewijze convergentie, uniforme convergentie en equicontinuïteit. De Arzelà–Ascoli-stelling behandelt onder aanvullende aannames de uniforme convergentie van verzamelingen functies.

In probabiliteit en statistiek duidt men op een stochastic process aan als een familie van toevallsvariabelen of functies met index t ∈ T. In meetkunde en functionaalanalyse kan men spreken van meetbare functiefamilies: F: Λ × X → Y die meetbaar is in beide variabelen.

Contextueel gebruik: een functiefamilie beschrijft parameterafhankelijke modellen, hypotheseklassen in machine learning, of objectieven en constraints in parameterafhankelijke optimalisatie. Het is een fundamenteel concept om functies met variërende parameter te vergelijken en te bestuderen.