flächentreue

Flächentreue, auch bekannt als *Flächenerhaltung* oder *Flächentreuheit*, ist ein Begriff aus der Geometrie und der Computergraphik, der die Eigenschaft beschreibt, dass eine Abbildung oder ein Transformationsverfahren die Fläche von Gebieten im Raum oder in der Ebene erhalten bleibt. Dies bedeutet, dass die Größe der Flächen nach einer Operation, wie etwa einer Skalierung, Drehung oder einer linearen Transformation, unverändert bleibt.

In der Mathematik wird Flächentreue besonders bei linearen Abbildungen betrachtet. Eine Abbildung f: ℝ² → ℝ² ist flächentreu, wenn für jeden Bereich A in ℝ² das Volumen oder die Fläche von f(A) gleich dem Volumen oder der Fläche von A ist. Dies ist beispielsweise bei Rotationen, Skalierungen und Spiegelungen der Fall, während z. B. eine allgemeine affine Transformation (außer Skalierung) die Fläche nicht erhalten kann.

In der Computergraphik spielt Flächentreue eine wichtige Rolle bei der Darstellung von 3D-Modellen. Verfahren wie die *Baryzentrische Koordinatentransformation* oder die Verwendung von *Flächentreuen Interpolationsverfahren* sorgen dafür, dass Texturen und Oberflächen korrekt auf die Modellierung übertragen werden, ohne dass sich die physikalische Größe der Flächen verändert. Dies ist besonders wichtig für Simulationen, die präzise Volumenberechnungen oder Materialeigenschaften benötigen.

Ein weiteres Anwendungsfeld ist die *Flächentreue Projektion*, etwa in der Kartographie, wo flächentreue Projektionen wie die *Albers-Kegel-Projektion* verwendet werden, um die Fläche auf Karten darzustellen, ohne dass Länder oder Regionen verzerrt erscheinen. Diese Projektionen sind besonders nützlich für globale Darstellungen, bei denen die Erhaltung der Flächengröße Priorität hat.