eksponensiell

Eksponensiell er et begrep som vanligvis brukes om funksjoner der veksten eller avviket skjer i en eksponent. En generell eksponensiell funksjon har formelen f(x) = a · b^x, der a er en ikke-null konstant og basen b er større enn null og ikke lik én. Avhengig av basen vokser funksjonen raskt når x øker (b > 1) eller avtar (0 < b < 1). Den mest kjente eksponensielle funksjonen er den naturlige eksponentialfunksjonen f(x) = e^x, der e ≈ 2,71828.

En sentral egenskap ved eksponensielle funksjoner er konstant relativ vekstfart: prosentvis endring per enhet er avhengig av den nåværende størrelsen. Den deriverte av en eksponensiell funksjon er f'(x) = a · b^x · ln b, og for den naturlige eksponentialfunksjonen er f'(x) = e^x. Dette gjør e^x til sin egen derivat, en viktig egenskap i kalkulus og modellering.

Eksponensielle modeller brukes i mange sammenhenger. I kontinuerlig=rente- og låneberegning opptrer y = y0 · e^{rt}, mens populasjonsvekst og viss avfall ofte beskrives av y = y0 · e^{kt}. I radioaktiv eller kjemisk nedbrytning følger mengden ofte en eksponentiell kurve med negativ konstant k.

Særlig i matematikkens kontekst er relatert funksjon logaritmen: den naturlige logaritmen ln x er den inverse av exp-funksjonen, og basen e er begrunnelsen for at ln har en rekke naturlige egenskaper i integrasjon og differensiering. Eksponensiell matematikk beskriver dermed prosesser der endring er proporsjonal med eksisterende mengde.