eksponentiell

Eksponentiell refererer til vekst eller forandring som skjer med en konstant relativ endring per tidsenhet. I praksis beskrives det ofte med to likeverdige formuleringer: en diskret form, y(t) = a · b^t, der a er startverdien og b er vekstfaktoren, og en kontinuerlig form, y(t) = a · e^{k t}, der e er den naturlige konstanten og k er vekstraten. I begge tilfeller vokser eller avtar verdien raskt når k ikke er null.

Egenskaper og viktige trekk: eksponentielle funksjoner er positive hvis startverdien er positiv, og de er monotone avhengig av fortegnet til k (stigende når k > 0, avtagende når k < 0). Den kontinuerlige formen har konstant relativ vekstrate per tidsenhet, og den deriverte følger d/dt (a e^{k t}) = a k e^{k t}. Eksponentialfunksjonen har også konstant andrederivater som gir karakteristiske kurver som forblir konkurrerende i sin form.

Former og ekvivalente uttrykk: ved naturlig base kan man bruke y(t) = a e^{kt} eller y(t) = a · (e^{k})^t, der vekstraten relaterer seg til den måten tiden måles på. Halvering og dobling er kjente fenomener: halveringstiden T_{1/2} for en nedgangsprosess er T_{1/2} = ln 2 / λ for en nedgangsrate λ, og tilsvarende for vekst.

Anvendelser: eksponentiell vekst og nedgang forekommer i biologi (populasjon), økonomi (rentesrente), fysikk og kjemi (radioaktivt nedfall), samt i beregninger av tidsavhengige prosesser og visse algoritmer i informatikk. Forskjellen mellom eksponentiell, lineær og andre vekstmønstre er sentral i modellering og analyse.