eersteordeverandering

Eerste ordeverandering, meestal geschreven als eerste-orde verandering, is een concept uit wiskunde en natuurwetenschappen dat de verandering van een kwantiteit beschrijft door een kleine verandering in een of meer invoerwaarden. Het vertegenwoordigt de lineaire (of alfabetische) benadering van hoe een functie verandert wanneer de input marginaal verandert. Deze benadering is bruikbaar om snel de gevoeligheid van een systeem te schatten zonder de volledige afhankelijkheid te hoeven berekenen.

Voor een één-variabele functie f(x) met een kleine verandering Δx is de eerste-orde verandering Δf ongeveer gelijk aan f'(x)Δx. In meervoudige variabelen geldt: Δf ≈ ∑i (∂f/∂xi) Δxi. In termen van de differentiaal schrijft men dy = ∑i (∂f/∂xi) dxi, wat de totale differentiaal vertegenwoordigt als de veranderingen klein zijn. Deze notaties vormen de basis van de Taylor-reeks, waarbij f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx + (1/2)f''(ξ)(Δx)^2, en de eerste-orde term f'(x)Δx de leidende bijdrage is.

Een voorbeeld: voor f(x) = x^2 is Δf ≈ 2xΔx. Als x = 5 en Δx = 0,1, dan is Δf ≈ 2·5·0,1 = 1, wat een lineaire schatting geeft van de verandering in f.

Toepassingen van de eerste-orde verandering zijn onder meer lineaire respons en gevoeligheidsanalyse in natuurkunde ( perturbatietheorie, lineaire respons), engineering en economie, alsmede optimaliteitsvoorwaarden in wiskundige optimalisatie. De methode geeft een snelle, maar beschrijft geen hogere-orde effecten; voor grotere Δx kunnen tweede-orde termen significant worden.