dimensionnalité

La dimensionnalité est la notion qui décrit le nombre de coordonnées indépendantes nécessaires pour décrire une position dans un espace. Elle peut être entendue comme le degré de liberté d’un système ou d’un ensemble de points. On distingue généralement la dimension intrinsèque, qui concerne la structure interne d’un objet ou d’un ensemble, et la dimension ambiante (ou externe), qui est l’espace environnant dans lequel cet objet peut être inscrit.

Dans la géométrie et la topologie, des objets peuvent avoir des dimensions différentes selon le cadre. Par exemple, une ligne dans l’espace tridimensionnel est une sous-variété de dimension 1, alors qu’une surface comme une sphère est de dimension 2. Dans certains cas, des ensembles conservent une dimension plus faible que celle de l’espace qui les contient. Des notions plus fines, comme la dimension fractale (par exemple la dimension de Hausdorff ou la dimension de Minkowski), permettent de décrire des objets irréguliers ou fragmentés qui ne se laissent pas appréhender par une simple notion entière de dimension.

En science des données, la dimensionnalité fait référence au nombre de variables ou de caractéristiques d’un dataset. Les jeux de données à très fortes dimensions présentent ce que l’on nomme le « malédiction de la dimension », avec une sparsité croissante et une complexité de calcul accrue. Des techniques de réduction de dimensionnalité (comme l’analyse en composantes principales, l’ICA, les méthodes basées sur les graphs ou les algorithmes t-SNE et UMAP) visent à conserver l’information pertinente tout en réduisant le nombre de dimensions, facilitant l’analyse, la visualisation et la modélisation.

L’estimation de la dimensionnalité intrinsèque d’un jeu de données est un sujet actif, avec des approches allant des méthodes statistiques (estimation par maximum de vraisemblance, corrélation) aux mesures géométriques (dimension fractale) et aux tests basés sur la distance.