differentiabilité

La différentiabilité est une notion fondamentale de l’analyse qui caractérise la capacité d’une fonction à être approchée localement par une fonction linéaire. Une fonction réelle f définie sur un intervalle ouvert I est dite différentiable en un point a∈I si la limite \(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) existe et est finie. Cette limite, notée f′(a), s’appelle la dérivée de f en a. La différentiabilité implique la continuité en a, mais l’inverse n’est pas vrai : une fonction peut être continue en a sans être différentiable (par exemple la fonction valeur absolue en 0).

Dans le cas de fonctions à plusieurs variables, f : ℝⁿ→ℝ est différentiable en a si elle admet une approximation linéaire précise : il existe une application linéaire L telle que \( \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\|h\|}=0\). Cette application linéaire est alors la différentielle de f en a et s’identifie au gradient lorsqu’on le représente dans une base canonique. La différentiabilité implique l’existence et la continuité locale des dérivées partielles, mais les dérivées partielles existantes ne suffisent pas à garantir la différentiabilité (exemple de la fonction de Schwartz).

Des critères pratiques permettent de vérifier la différentiabilité. Le théorème de la dérivée continue affirme que si les dérivées partielles d’une fonction sont continues dans un voisinage d’un point, alors la fonction est différentiable en ce point. De même, les fonctions de classe \(C^{1}\) sont différentiables partout sur leur domaine.

La différentiabilité joue un rôle central en optimisation, en géométrie différentielle et en théorie des équations différentielles, où elle assure l’existence de tangentes, de plans tangents et de solutions locales uniques. Les notions de différentiabilité faible ou de dérivées généralisées, comme les dérivées de Soboleff, étendent le concept aux fonctions moins régulières tout en conservant des propriétés analytiques essentielles.