differensekvationer

Differensekvationer är ekvationer som relaterar termerna i en följd till tidigare termer och där utvecklingen sker i diskreta tidssteg. De beskriver hur en kvantitet förändras från en tidpunkt till nästa och är därmed den diskreta motsvarigheten till differentialekvationer. En lösning består av en följd {x_n} som uppfyller relationen, och ordningen bestäms av hur många tidigare termer som ingår i ekvationen.

En vanlig form är de linjära differensekvationerna. En allmän linjär differensekvation av ordning k har formen x_n = a1 x_{n-1} + a2 x_{n-2} + ... + ak x_{n-k} + f(n). Om f(n) = 0 är den homogen. För konstantkoefficienter kan lösningen hittas via det karakteristiska polynomet r^k - a1 r^{k-1} - ... - ak = 0. Roternas moduler avgör beteendet: systemet är stabilt om alla r har |r| < 1. Initialvillkor x_0, ..., x_{k-1} behövs för att bestämma en specifik lösning. I icke-homogena fall söks en partikulär lösning; metoder inkluderar obetydliga koefficienter eller variation av konstanter.

I icke‑linjära differensekvationer saknas generellt sluten form, och studierna fokuserar ofta på fasta punkter och deras stabilitet, bifurkationer och beteende över tid (till exempel genom cobweb-diagram).

Användningar omfattar modellering av populationer (till exempel logistisk karta: x_{n+1} = r x_n (1 - x_n)), ekonomiska modeller som cobweb-modeller, samt numerisk analys och digital signalbehandling där diskreta modeller används för simulering och analys. Differsensekvationer utgör även grunden för många algoritmiska metoder och tidsdiskreta system.