diferenciações

Diferenciações é o conjunto de processos ligados à diferenciação, com uso frequente no cálculo e em outros campos do conhecimento. Em matemática, diferenciação é a operação que atribui a uma função f a sua derivada, descrevendo a taxa de variação de f em relação à variável independente.

Definição: se f é definida em um intervalo, a derivada de f em x é o limite f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h, desde que exista. A derivada pode também ser denotada por df/dx ou por Df(x).

Exemplos simples: se f(x) = x^2, então f'(x) = 2x; se f(x) = sin x, f'(x) = cos x; se f(x) = e^x, f'(x) = e^x.

Principais regras: linearidade (a f + b g)' = a f' + b g'; produto (fg)' = f' g + f g'; cadeia (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x). Diferenciabilidade implica continuidade; no entanto, uma função pode ser contínua sem ser diferenciável em todos os pontos. Um derivável em um ponto pode não ter derivada em pontos vizinhos.

Aplicações: cálculo de inclinações e tangentes, resolução de problemas de otimização, modelagem de velocidades e acelerações, e análise de taxas de variação em ciências e engenharia.

Outras aceções: em biologia, diferenciação descreve o processo pelo qual células indiferenciadas se especializam em tipos celulares; em outras áreas, o termo pode ter significados distintos conforme o contexto.

História: a ideia de diferenciação surgiu no desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, com a formalização de limites e regras de derivação ao final do século XVII.