diagonaliseren

Diagonaliseren is het proces waarbij een vierkante matrix A wordt omgezet in een diagonaalvorm via een invertibele transformatie. Er bestaat een matrix P zodanig dat P^{-1} A P = D, waarbij D diagonaal is en de diagonaal de eigenwaarden van A bevat. De kolommen van P bestaan uit de bijbehorende eigenvectoren van A.

Een matrix is diagonaaliseerbaar als er een basis bestaat van eigenvectoren. Dit komt overeen met de eis dat de som van de afmetingen van de eigenruimten gelijk is aan de orde van A (het aantal rijen/kolommen). In algebraïsche termen betekent dit dat de minimale veelterm van A in lineaire factoren ontbindt en dat de geometrische multipliciteit van elke eigenwaarde gelijk is aan zijn algebraïsche multipliciteit. Een matrix kan niet diagonaaliseerbaar zijn als hij te weinig onafhankelijke eigenvectoren heeft (defectief).

De standaardprocedure om te diagonaliseren omvat: het vinden van de eigenwaarden door det(A − λI) = 0, en het vinden van de bijbehorende eigenvectoren. Vorm vervolgens een invertibele matrix P met deze eigenvectoren als kolommen. Als P invertibel is, is A = P D P^{-1} met D diagonaal en daarin de eigenwaarden langs de diagonaal. Een matrix is diagonaaliseerbaar over een veld als hij genoeg eigenvectoren heeft; voor reële matrices zijn de eigenwaarden niet altijd reëel, waardoor diagonalisatie over de reële getallen mogelijk niet plaatsvindt maar wel over de complexe getallen.

Er zijn speciale gevallen: symmetrische matrices zijn altijd diagonaaliseerbaar via een orthogonale transformatie, A = Q Λ Q^T. In dat geval kunnen de eigenvectoren gekozen worden orthonormaal. Numeriek kan diagonalisatie onder meer plaatsvinden via algoritmen zoals het QR-algoritme. Diagonaliseren vereenvoudigt veel taken, zoals het berekenen van machten van A of het oplossen van lineaire systemen en differentiaalvergelijkingen.