definitieset

Definitieset, ook wel definieerbare verzameling genoemd, is een begrip uit de logica en de wiskunde. Het verwijst naar een subset die kan worden beschreven door een logische formule binnen een gegeven structuur, mogelijk met parameters uit die structuur. Concreet: laat M een structuur zijn in een taal L. Een subset A ⊆ M^n is definieerbaar over M (met parameters) als er een L-formule φ(x1,...,xn, y1,...,ym) en parameterwaardes p ∈ M^m bestaan zodanig dat A = { a ∈ M^n | M ⊨ φ(a, p) }. Als de parameters niet nodig zijn, spreken we van definieerbaar over de lege verzameling.

In de modeltheorie wordt hiermee bedoeld dat een verzameling als boven beschreven kan worden beschreven met een eerste-ordeformule. Definieerbare verzamelingen vormen een booleaanse algebra: ze zijn gesloten onder unie, doorsnede en complement. Bovendien blijven definieerbare verzamelingen bewaarbaar onder definieerbare afbeeldingen; projecties van definieerbare verzamelingen zijn definieerbaar via existentiële kwantificatie.

Voorbeelden: in de structuur van de reële getallen R met de taal van ringen (+,·,0,1) zijn verzamelingen zoals { x ∈ R | x^2 ≤ 2 } definieerbaar door φ(x) = x^2 ≤ 2; { x ∈ R | ∃y (x = y^2) } is definieerbaar als de verzameling van rechthoekige getallen (vierkantsgetallen). In real closed fields levert o-minimaliteit een jeugdig regime op waarin definieerbare verzamelingen een beperkt geometrisch gedrag vertonen.

Relatiefheid: definieerbaarheid is altijd relatief aan een taal en een structuur en kan met of zonder parameters zijn. In de verzamelings- en verzameltheoretische context kan men ook spreken van definieerbare verzamelingen ten opzichte van een model of theorie.

Zie ook: definieerbare verzameling, o-minibele structuren, definabiliteit.