congruência

Congruência, em matemática, é uma relação que expressa que dois inteiros diferem por múltiplo de um inteiro positivo n. Escreve-se a ≡ b (mod n) quando n | (a − b). Essa relação define classes de resíduos módulo n, chamadas classes de congruência, existindo exatamente n delas, representadas por 0, 1, ..., n−1. A congruência é uma relação de equivalência: reflexiva, simétrica e transitiva, e pode-se trabalhar com reduções de números para o seu representante modulo n.

Propriedades básicas: se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n), então a ± c ≡ b ± d (mod n) e ac ≡ bd (mod n). operações de adição, subtração e multiplicação preservam a congruência. nem toda divisão é permitida; pode ser necessário condições como o divisor ser coprimo com n. Resolver congruências lineares envolve encontrar soluções para a ≡ r (mod n). O teorema chinoise dos restos afirma que, se n1 e n2 são coprimos, uma congruência simultânea a ≡ r1 (mod n1) e a ≡ r2 (mod n2) tem exatamente uma solução modulo n1 n2.

Na geometria, congruência descreve igualdade de forma e tamanho. Duas figuras são congruentes se uma pode ser obtida a partir da outra por uma isometria (translação, rotação, reflexão). Correspondentes lados e ângulos são iguais; diferente de similaridade, não há escalonamento envolvido.

Aplicações: teoria dos números, criptografia (RSA), computação, cálculos de calendários e horários, provas matemáticas. A noção de congruência é central para reduzir problemas a resíduos e para estruturar estruturas algébricas, como anéis de inteiros modulo n.