basisbeschrijvingen

Basisbeschrijvingen zijn beschrijvingen van de basis van een vectorruimte en de manier waarop elementen daarvan ruimte worden uitgedrukt. Ze geven aan welke vectoren als basis dienen en hoe elk element van de ruimte kan worden geschreven als een lineaire combinatie van deze basisvectoren.

In de wiskunde is een basis B van een vectorruimte V over een veld F een verzameling vectoren die lineair onafhankelijk is en die V spannt. Een basisbeschrijving omvat dus de keuze van B en de notatie van de coördinaten van vectoren ten opzichte van B. De dimensie van V is gelijk aan de grootte van B en elke vector heeft unieke coördinatenvector ten opzichte van die basis.

Veel gebruikte voorbeelden zijn de standaardbasis in R^n, bestaande uit vectoren die een 1 bevatten op één positie en nulwaarden op alle andere posities, en orthonormale bases in innerlijke productruimten, die gunstige eigenschappen opleveren voor projecties en berekeningen.

Veranderingen van basis (change of basis) beschrijven hoe coördinaten worden omgezet van het ene naar het andere basis. Dit gebeurt via een overgangsmatrix; de coördinaten van een vector in de ene basis worden vermenigvuldigd met deze matrix om coördinaten in de andere basis te verkrijgen.

Toepassingen van basisbeschrijvingen liggen in lineaire algebra, computer-algebra, signaalverwerking en data-analyse. Ze maken het mogelijk om problemen te vereenvoudigen, representaties te optimaliseren en efficiënte berekeningen uit te voeren.