autovetores

Autovetores são vetores não nulos v que, quando submetidos a uma transformação linear representada por uma matriz A, são apenas ampliados por um fator escalar λ, ou seja, Av = λv. O número λ é chamado autovalor correspondente ao autovetor v. Os pares (λ, v) definem direções ao longo das quais a transformação atua apenas por escala, mantendo a direção de v inalterada. Para encontrar autovalores, resolve-se o determinante det(A − λI) = 0. As raízes λ são os autovalores; para cada λ, os vetores não nulos que satisfazem (A − λI)v = 0 formam a eigenspaco, cujo vetor pode ser escalado por qualquer escalar não nulo.

As propriedades importantes incluem: autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes; a existência de n autovetores independentes (em uma matriz de ordem n) permite diagonalizar a matriz, ou seja, escrever A = PDP^{-1} com D diagonal. Se não houver n autovetores independentes, A é não diagonalizável (defeito), embora se possa usar formas de Jordan.

Métodos numéricos: a iteração de poder encontra o autovalor dominante e seu autovetor; algoritmos como o algoritmo QR são usados para calcular o conjunto de autovalores e autovetores de matrizes maiores.

Aplicações: análise de estabilidade, modos de vibração, decomposição de dados (PCA), resolução de equações diferenciais lineares, computação gráfica e mecânica quântica. Esta é uma visão geral dos autovetores e de suas propriedades fundamentais.