antiderivaatioja

Antiderivaatio on matemaattinen käsite, jossa etsitään funktiota F, jonka derivaatta on annettu funktio f. Toisin sanoen F on antiderivaatio f:lle, jos F'(x) = f(x) kaikilla määrittelyalueessaan. Antiderivaatioita tulkitaan usein kuin "kasetteja" f:n kertymisestä: ne ovat eräänlaisia kokonaisuuksia siitä, miten f on voinut muuttua.

Indefininen integraali ∫ f(x) dx kuvaa kaikkia antiderivaatioita. Se kattaa muodon F(x) + C, missä F'(x) = f(x) ja C on vakio. Yhteenvedettynä, F on antiderivaatio f:lle ja antiderivaatioita voi olla useita erimerkkien mukaan.

Esimerkkejä yleisistä antiderivoista: ∫ x^2 dx = (1/3)x^3 + C, ∫ e^x dx = e^x + C, ∫ 1/x dx = ln|x| + C. Näissä kohdissa on käytössä perusintegraalilaskennan säännöt, kuten potenssivakiot, eksponenttifunktiot ja lineaarisen yhdistelmän oikea-ottaminen.

Faktisessa käytössä erottelu ja integrointi liittyvät toisiinsa F:n ja f:n välillä. Fundamental theoremin mukaan, jos f on jatkuva alueella [a, b], niin jokaiselle sen antiderivaatiossa F pätee ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Tämä yhdistää derivoinnin ja integroinnin.

Huomioitavaa on, että kaikille f:lle ei aina ole antiderivaatioita ilmaisempia kuin eräin erityistapauksin, ja joskus antiderivaatio ei ole esitettävissä yksinkertaisessa, elementaarisessa muodossa. Tällöin käytetään erikoishermoja kuten vakioita tai erfi- ja erf-funktioita.