antiderivaatiossa

Antiderivaatio on matemaattinen käsite kalkyylissa, joka vastaa derivoimisen käänteisoperaatiota. Olkoon f funktio määritellyllä välillä I. Jos on funktio F, jolla F' (x) = f(x) kaikilla x ∈ I, sanotaan että F on f:n antiderivaatio. Indefinisen integraation notaatio ∫ f(x) dx kuvaa kaikkien näiden antiderivaatioiden yhteisön: ∫ f(x) dx = F(x) + C, jossa C on mielivaltainen vakio.

Antiderivaatio liittyy tiiviisti Fundamental of Calculus -teoreemaan. Jos f on jatkuva välillä I, on olemassa antiderivaatio F I lokalisoituna ja F(x) voidaan määritellä esimerkiksi F(x) = ∫ a→x f(t) dt. Tämä määritelmä osoittaa, että jokainen antiderivaatio on erottuva ja sen derivaatta palauttaa alkuperäisen funktion f.

Ominaisuudet ja laskusäännöt. Antiderivaatio on lineaarinen: ∫ (a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx, ja yleisesti F2(x) = F1(x) + C1 ja F1(x) + C2 ovat kaksi antiderivaatioita, joita erittääa vakio. Tiettyjen funktioiden antiderivaatioita voidaan löytää analyyttisesti tekniikoilla kuten substitution (muunnos), osittaisintegrointi, osamaat ovat polynomeja tai trigonometristen funktioiden sovellukset. Esimerkkejä: f(x) = 2x saa antiderivaatioiksi F(x) = x^2 + C; f(x) = e^x saa F(x) = e^x + C.

Rajoitteet. Kaikki funktiot eivät välttämättä omaa helposti ilmaistavaa antiderivaatioita elementaarisilla funktioilla; jotkin integraalit johtavat erikoisfunktioihin, kuten erf(x) tai muihin ei-elementaarisiin muotoihin. Yhteenvetona antiderivaatio on derivoimisen käänteinen prosessi ja määrittää perusrakenteen, jonka avulla voidaan palauttaa alkuperäinen funktio erilaisten integraalien kautta.