Antiderivaatioita

Antiderivaatioita, eli primitivifunktioita, ovat funktiot F, joiden derivaatta on annettu funktio f. Toisin sanoen F' = f. Jos f on määritelty jaksolla I, kaikkien antiderivaatioiden muunnelma on F + C, missä C on vakio. Tämä tarkoittaa, että antiderivaatioina kutsutaan epämääräisiä integraaleja, joille vakiot erottavat erilliset primitivifunktiot.

Oleellinen ominaisuus on olemassaolo: jos f on jatkuva jaksolla I, on olemassa antiderivaatio I:llä. Laskennan peruslauseen mukaan, jos F on antiderivaatio f:lle, niin ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) ja d/dx ∫_a^x f(t) dt = f(x). Näin derivaatta ja integraali ovat kytköksissä toisiinsa.

Esimerkkejä antiderivaatioista: ∫ x^2 dx = x^3/3 + C; ∫ e^x dx = e^x + C; ∫ sin x dx = −cos x + C; ∫ 1/x dx = ln|x| + C (x ≠ 0). Eri funktioille antiderivaatioita voidaan löytää käyttämällä tekniikoita kuten substituutio ja osittaisintegrointi, mutta joillakin funktioilla ei ole yksinkertaista suljettua primitivifunktiota.

Rajat, eli määrätty integraali, liittyy antiderivaatioihin kertomalla F:ien arvojen erotuksesta. Antiderivaatioita käytetään laajasti kertymien, pinta-alojen ja fyysisten ilmiöiden mallintamisen työkaluna sekä tarjoavat perustan integraalilaskennalle ja analyysille.