abzählbarer

Abzählbar ist ein Begriff der Mengenlehre, der eine bestimmte Art von Mengen beschreibt. Eine Menge S heißt abzählbar, wenn sie entweder endlich ist oder eine Bijektion mit den natürlichen Zahlen besitzt. Damit lässt sich S in einer Reihenfolge enumerieren und elemente durch 1, 2, 3, … nummerieren.

Gleichbedeutend dazu gibt es mehrere übliche Formulierungen. Eine abzählbare Menge besitzt eine injektive Abbildung nach N (also S lässt sich in N einbetten). Ist S unendlich, existiert zudem eine Bijektion zwischen S und N; dann spricht man von einer abzählbaren unendlichen Menge. Allgemein gesagt umfasst eine abzählbare Menge sowohl endlich als auch abzählbar unendliche Mengen.

Beispiele und Folgerungen: Die Menge der natürlichen Zahlen N ist abzählbar. Auch die Menge der geraden Zahlen 2N ist abzählbar. Die Menge der rationalen Zahlen Q ist abzählbar, obwohl Q dicht in R liegt. Ebenso sind die Menge der algebraischen Zahlen und die Menge aller Wörter über einem endlichen Alphabet abzählbar. Nicht abzählbar ist dagegen die Menge der reellen Zahlen R; Cantors Diagonalargument zeigt, dass R nicht abzählbar ist. Folglich ist auch die Potenzmenge von N unabrufbar abzählbar.

Eigenschaften: Untermengen abzählbarer Mengen sind abzählbar. Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist abzählbar, wodurch sich viele klassische Mengen als abzählbar zeigen. Der Begriff spielt eine zentrale Rolle in Analysis, Zahlentheorie und der fundamentalen Mengenlehre.