ZylinderGeometrien

Zylindergeometrien bezeichnet die geometrische Untersuchung von Zylindern als Flächen im dreidimensionalen Raum. Im mathematischen Sinn handelt es sich um Zylinderflächen: Flächen, die durch das Verschieben einer festen Grundkurve entlang einer geraden Richtung entstehen. Die Grundkurve liegt in einer Ebene, und jeder Punkt der Grundkurve wird parallel zu einer festen Richtung verschoben, wodurch eine Fläche aus Geraden entsteht, die alle parallel zueinander liegen. Zylinderflächen gehören zur Klasse der regulären Flächen und sind Beispiele ruheloser, oder geradlinig erzeugter Flächen.

Typische Beispiele sind der rechtwinklige Zylinder mit kreisförmiger Grundfläche (Kreiszylinder), der elliptische Zylinder und der parabolische Zylinder. Allgemein spricht man von Zylinderflächen, wenn eine ebene Grundkurve als Basis dient und diese entlang einer festen Richtungsachse erzeugt wird. Man unterscheidet auch generalisierte Zylinder, bei denen die Querschnitte durch verschiedene ebene Kurven gegeben sind (z. B. elliptisch, parabolisch), wodurch verschiedene Typen von Zylindern entstehen.

Parametrisierung und Eigenschaften: Für einen Kreisradius R entlang der z-Achse lässt sich der Kreiszylinder beispielsweise durch S(θ, z) = (R cos θ, R sin θ, z) darstellen. Für eine Ellipse mit Halbachsen a, b genügt S(θ, z) = (a cos θ, b sin θ, z). Allgemein gilt S(s, t) = γ(s) + t d, wobei γ eine Basiskurve in der Ebene ist und d ein festes Richtungsvektor. Zylinderflächen sind ruled surfaces, besitzen eine Gausssche Krümmung K = 0 und sind entwickelbar (sie lassen sich auf eine Ebene abwickeln). Der rechte Zylinder hat Hauptkrümmungen κ1 = 1/R und κ2 = 0.

Anwendungen finden Zylindergeometrien in Technik, Architektur, Maschinenbau und Computergrafik; sie dienen zur Modellierung von Rohren, Säulen und anderen länglichen Bauteilen sowie in der numerischen Geometrie und Visualisierung.