Zustandsfolge

Zustandsfolge ist die Folge von Zuständen eines dynamischen Systems, die dessen zeitlichen Verlauf beschreibt. Der Zustandsraum S enthält alle möglichen Zustände s ∈ S. Bei diskreten Zeiten t ∈ N bezeichnet man die Folge als s_0, s_1, s_2, …, wobei s_t den Zustand zum Zeitpunkt t angibt. In einem deterministischen, zeitdiskreten System gibt es eine Übergangsfunktion Φ, so dass s_{t+1} = Φ(s_t). Bei Systemen mit Eingaben u_t gilt s_{t+1} = Φ(s_t, u_t). Der Anfangszustand s_0 legt den Verlauf fest.

Eine Zustandsfolge kann endlich oder unendlich lang sein. Wichtige Eigenschaften betreffen das Langzeitverhalten: Fixed points (s_* = Φ(s_*)); Periodizität (s_{t+T} = s_t); Stabilität und Konvergenz gegen einen Punkt oder eine Menge von Zuständen (Attraktoren, Limitzyklen) sowie chaotische Verläufe in komplexen Systemen. Die Analyse von Zustandsfolgen umfasst oft die Bestimmung von stabilen Bahnen, die Berechnung von Grenzzuständen und die Identifikation von Grenz-Sets.

Stochastische Zustandsfolgen entstehen, wenn Übergänge zufällig sind, z. B. in Markov-Ketten. Hier beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung die Beziehung zwischen s_t und s_{t+1}. Realisationen solcher Prozesse liefern konkrete Zustandsfolgen unter Unsicherheit, während Transitionsmatrizen oder -funktionen statistische Eigenschaften liefern.

Zustandsfolgen finden Anwendung in der Physik, Ingenieurwissenschaft, Ökonomie und Informatik, wo sie zur Modellierung von Systemen, zur Simulation, Regelung und Optimierung dienen. In der Praxis werden sie oft als Trajektorien oder Zustandspfad bezeichnet.