Zufallsvariablex

Zufallsvariable X ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Funktion vom Stichprobenraum Ω in die reellen Zahlen, die jedem Ergebnis einer zufälligenExperimentreihe eine numerische Größe zuordnet. Formal ist X: Ω → R. X nimmt reale Werte an; die möglichen Werte heißen Realisierungen von X. Zufallsvariablen werden unterschieden in diskrete Variablen mit abzählbaren Werten und stetige Variablen mit einem zusammenhängenden Wertebereich.

Die Verteilung einer Zufallsvariable wird durch Wahrscheinlichkeitsfunktionen beschrieben: Bei diskreten Variablen p_X(x) = P(X = x) und bei stetigen Variablen f_X(x) als Dichtefunktion, so dass P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_X(x) dx. Die Verteilungsfunktion F_X(x) = P(X ≤ x) fasst alle Wahrscheinlichkeiten zusammen und erfüllt F_X(-∞) = 0, F_X(∞) = 1 sowie F_X(x) = ∫_{-∞}^{x} f_X(t) dt für stetige X.

Wichtige Kennzahlen sind Erwartungswert E[X] und Varianz Var(X). Für diskrete X gilt E[X] = Σ x p_X(x) und Var(X) = Σ (x − E[X])^2 p_X(x); für stetige X gilt E[X] = ∫ x f_X(x) dx und Var(X) = ∫ (x − E[X])^2 f_X(x) dx. Weitere Aspekte umfassen Momente, Kovarianz und Unabhängigkeit.

Beispiele: Der Wurf eines fairen Würfels ergibt X mit Werten 1–6 und p_X(x) = 1/6. Messgrößen wie Temperatur können als stetige Zufallsvariablen modelliert werden, oft mit einer Normalverteilung. Zufallsvariablen modellieren Zufallsprozesse und ermöglichen statistische Inferenz.